Comment Calculer Un Côté D'un Triangle Rectangle Avec 1 Mesure
Les triangles et connaissances associées à cette forme géométrique
Définition
En cours de maths, le triangle se définit comme une figure aeroplane dotée de trois côtés et angles. Ses trois angles sont nommés sommets et les trois segments qui relient ces sommets se nomment les côtés.
Propriétés concernant les triangles en géométrie
- La somme des angles d'un triangle est égale à 180° ;
- Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci ;
- Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues ;
- Dans united nations triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice problems d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues et donc fifty'orthocentre, le center de gravité, le middle du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus ;
- Dans united nations triangle rectangle, la médiane relative à fifty'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse ;
- Dans united nations triangle rectangle, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a cascade diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de 50'hypoténuse ;
- Dans united nations triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires auto leur somme est de 90°.
Les différents types de triangles existant
Il existe plusieurs types de triangles. Chacun d'entre eux dispose de caractéristiques particulières.
Le triangle plat
Le triangle plat est united nations triangle dont les sommets sont alignés. Visuellement, il ressemble à une droite.
Le triangle isocèle
Le triangle isocèle est un triangle qui dispose d'au moins deux côtés de même taille, ce qui fait que les deux angles adjacents à ce côté sont de même mesure.
Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral est un triangle particulier dans lequel tous les côtés sont de même longueur. Il en résulte que tous ses angles soient de lx° puisque la somme des angles d'un triangle est de 180°.
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est united nations triangle dont l'un des angles mesure 90° et est donc united nations bending droit. Le côté opposé à cet bending droit est appelé l'hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.
Le triangle obtusangle
Un triangle obtusangle est united nations triangle dont united nations angle est supérieur à 90° et les deux autres inférieurs à 90°.
Le triangle acutangle
Le triangle acutangle est united nations triangle dont aucun des trois angles ne mesure plus de ninety°.
Les opérations dans les triangles et les théorèmes associés
De nombreux théorèmes existent afin de calculer les mesures des côtés d'un triangle ou encore les mesures des angles de ces derniers. On y retrouve par exemple les célèbres théorèmes de Pythagore et théorèmes de Thalès.
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Le théorème de Pythagore
Un peu d'histoire
Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C'était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l'arithmétique, la médecine ou encore fifty'astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd'hui encore, c'est à lui qu'on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d'or. Il reste une figure incontournable des sciences.
Énoncé
Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :
Dans united nations triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Explication
Cela signifie que pour united nations triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².
Utilité
Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu'un triangle est rectangle ou ne fifty'est pas. On utilize pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :
Si AB² = Air-conditioning² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Si AB² northward'est pas égal à Air conditioning² + BC² alors le triangle n'est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d'united nations triangle due north'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle north'est pas rectangle.
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Méthodologie
On cherche l'hypoténuse
Ce théorème va, en effet, permettre de calculer précisément des longueurs :
Dans le cas où on a united nations triangle ABC rectangle en B dont les mesures sont : AB = 3 cm et BC = 4 cm. On cherche le côté Air conditioning qui est l'hypoténuse.
On embark par une introduction
Puisque le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore
On écrit l'égalité
Air conditioning² = AB² + BC²
On keep le calcul
Air-conditioning² = 3² + four²
AC² = 9 + 16
AC² = 25
On supprime la racine
Ac = √25
AC = 5
Une phrase de conclusion
[ Ac ] mesure 5 cm.
On cherche un autre côté
Prenons le même triangle que dans l' exercice précédent sauf que nous ne connaissons pas AB et nous connaissons Air conditioning qui mesure 5 cm .
On commence par une introduction
Puisque nous sommes dans le cas où le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore
On écrit fifty'égalité
Air-conditioning² = AB² + BC²
5² = AB² + four²
Nous mettons fifty'inconnu en premier donc nous transformons 50'opération en soustraction
AB² = v² – 4²
On remplace
AB² = 25 – 16
AB² = ix
On supprime la racine
AB = √9
AB = 3
On conclue avec une petite phrase
[ AB ] mesure 3 cm.
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La réciproque du théorème de Pythagore
Énoncé
Si, dans un triangle, le carré du plus grand des côté est égal à la somme des carrées des two autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Son hypoténuse est le côté le plus thou.
Explication
Si on a l'égalité Air-conditioning² = BC² + AB², alors le triangle ABC est rectangle en B
Exemple
- MN=five,
- NP= 4,
- PM= half dozen
- Le côté le plus long est [MN]
MN²= 5² = 25 NP² + PM² = 4² + 3² = sixteen + ix = 25
On constate que MN² = NP² + PM²
De ce fait, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P.
Le théorème de Thalès
Énoncé
Dans un triangle ABC, si le point D est sur la droite (AB) et le point E sur la droite (AC) et que (DE) et (BC) sont parallèles, alors : [ frac { A D } { A B } = frac { A E } { A C } = frac { D East } { B C } ]
Utilité
Le théorème de Thalès permet de faire des calculs sur les triangles. Il en découle d'autres théorèmes ou règles, tel que le théorème de la droite des milieux. Il stipule la phrase suivante :
Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté
La réciproque du théorème de Thalès
- Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.
- Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
- Soient C et Due north deux points de (d') distincts de A.
Alors, si et si les points A, B, M et les points A, C, Northward sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On peut également la formuler autrement : Dans united nations triangle ABC, soient les points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC], [ text { si } frac { A D } { A B } text { et } frac { A East } { A C } ] sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Exercice : trouver la valeur grâce à un angle et united nations côté
quand on connait une mesure d'angle et une longueur d'un côté dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure du côté qui est a côté ou celui qui est a l'opposé, on fait:
BÂC = 60°C et Air-conditioning = 5 cm
dans le triangle ABC rectangle en B.
[ cos left( widehat{ B A C } right)= frac { A B } { A C } ]
soit:
[ cos left( threescore right) = frac { A B } { 5 }]
[ A B = cos left( 60 right) times 5 = two,v text { cm }]
Approfondir la question des angles et savoir les calculer : Définition et mesure des angles
Définition d'un angle
Un angle représente 50'écartement de deux demi-droite ayant la même origine. [ text { Un bending se annotation de la facon qui suit : } widehat { B O A } ] Ainsi, avec son nom, il est possible de déterminer quelques informations concernant l'angle :
- Le point O, correspondant à l'origine communes aux deux demi-droites, stand for également au sommet de l'angle.
- Les demi-droites [ OA ) et [ OB ) constituent, quant à elles, les côtés de 50'angle.
Il est important de savoir avant de nommer un triangle que celui-ci peut se lire mais aussi se noter dans les deux sens. Mais, il est important que la lettre centrale soit, dans tous les cas, le sommet de l'angle.
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La mesure d'un bending
Un angle se mesure grâce à l'unité de mesure qu'est le degré, noté °. Il est possible de connaître la mesure d'united nations angle grâce à united nations outil géométrique comme le rapporteur. Celui-ci est, très généralement, gradué de 0° à 180°. Il est également essentiel de ne pas confondre le nom et la mesure de fifty'angle automobile la note représente aussi bien le nom de l'angle que sa mesure.
Le vocabulaire des angles
Les angles droits
On dit d'un angle qu'il est un angle droit si les côtés de cet angle sont perpendiculaires. Il mesure alors 90°.
Les angles aigus
On dit d'united nations angle qu'il est un bending aigu si cet angle est plus petit qu'un angle droit. Ainsi, sa mesure doit être comprise entre 0° et ninety°.
Les angles obtus
On dit d'un angle qu'il est un angle obtus si cet angle est plus yard qu'un angle droit. Ainsi, sa mesure doit être incorporate entre 90° et 180°.
Les angles plats
On dit d'united nations bending qu'il est united nations angle plat si les côtés de cet angle sont situés sur une même droite. Ainsi, cet angle mesure donc 180° et peut être confondu avec une droite.
Les angles nuls
On dit d'un bending qu'il est united nations angle nul si les côtés de cet angles sont superposés. Ainsi, cet angle mesure 0° et peut être confondu avec une demi-droite.
Les angles adjacents
On dit de deux angles qu'ils sont adjacents lorsque ces deux angles possèdent le même sommet, un côté commun et qu'ils sont situés de role et d'autre de ce côté commun. Attention, deux angles adjacents ne sont pas nécessairement complémentaires ou supplémentaires.
Les angles opposés par le sommet
On dit de deux angles qu'ils sont opposés par le sommet lorsque deux angles possèdent le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement les uns des autres. Il peut être intéressant de noter 50'une des propriétés de ce blazon d'angle : deux angles, lorsqu'ils sont opposés par le sommet, sont de même mesure.
Les angles complémentaires
On dit de deux angles qu'ils sont complémentaires lorsque la somme des mesures de ces deux angles est égale à 90°.
Les angles supplémentaires
On dit de deux angles qu'ils sont supplémentaires lorsque la somme des mesures de ces deux angles est égale à 180°.
Les angles alternes-internes
On dit de deux angles qu'ils sont alternes-internes lorsque ces deux angles sont formés par deux droites dont une autre droite est sécante aux deux autres. Se plus, les deux angles doivent être situés de function et d'autre de la droite sécantes des deux premières droites. On peut reformuler la définition de la façon qui accommodate : Deux angles sont alternes-internes par rapport à deux droites et une sécante lorsqu'ils sont entre les deux droites, qu'ils sont chacun sur une droite et qu'ils sont de part et d'autre de la sécante. Il peut être intéressant de remarquer que deux droites et une droite sécantes forment plusieurs couples d'angles alternes-internes. A vous de vous entraîner pour les retrouver !
Les angles correspondants
On dit de deux angles qu'ils sont correspondant lorsque ces deux angles sont formés par deux droites et une autre droite qui est sécante aux deux premières droites. De plus, les angles doivent être situés du même côté sur chacune des deux droites. On peut reformuler la définition de la façon qui accommodate : Deux angles sont correspondants par rapport à deux droites et une sécante lorsqu'united nations des deux angles est à l'extérieur des deux droites et qu'ils sont du même côté de la sécante.
Propriété de parallélisme et angles
Angles correspondants et parallèles
Si deux droites parallèles coupées par une sécantes forment deux angles correspondants, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles correspondants de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.
Angles alternes-internes et parallèles
Si deux droites parallèles coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles alternes-internes de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.
La bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle correspond à la demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure.
Cosinus, Sinus et tangente d'un angle aigus
La fonction cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un bending aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ cos left( alpha right) = frac { text { cote adjacent } } { text { hypothenuse } } ] Il est of import de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que le cosinus d'un bending aigu est toujours compris entre 0 et 1.
La fonction sinus
Dans united nations triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ sin left( alpha right) = frac { text { cote oppose } } { text { hypothenuse } } ] Il est important de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que le sinus d'un bending aigu est toujours compris entre 0 et ane.
La fonction tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu peut être calculé grâce à la formule suivante : [ sin left( blastoff correct) = frac { text { cote oppose } } { text { cote side by side } } ] Il est important de savoir, afin de repérer tout erreur de calcul que la tangente d'united nations angle aigu est toujours supérieure à 0 degré mais elle n'est pas nécessairement inférieur à 1 comme le sont la fonction sinus et la fonction cosinus.
Remarque
Cascade les fonctions Cosinus, Sinus et Tangente, il existe une petite phrase mnémotechnique : CAH SOH TOA (casse toi) avec CAH pour Cosinus Next Hypoténuse, SOH pour Sinus Opposé Hypoténuse et TOA pour Tangente Opposé Next.
La trigonométrie
Théorème de la somme des carrés
Pour tout bending aigu noté α, il est possible de vérifier l'égalité suivante : [ cos ^ { 2 } left( alpha right) + sin ^ { 2 } left( alpha right) = ane ] Ainsi, en connaissant le cosinus (ou le sinus) d'un angle, il est possible de déterminer le sinus (resp. le cosinus) de ce même angle.
Théorème de la tangente
Pour tout angle aigu noté α différent de xc°, il est possible de vérifier la relation suivante : [ tan left( alpha right) = frac { sin left( alpha correct) } { cos left( alpha right) } ] Ainsi, en connaissant le sinus et le cosinus d'united nations angle, il devient possible de calculer la tangente de ce même bending.
Comment Calculer Un Côté D'un Triangle Rectangle Avec 1 Mesure,
Source: https://www.superprof.fr/ressources/scolaire/maths/exercice-7/4eme-7/formule-mesure-cotes.html
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